A modern számelmélet megalapítója sose tanult matematikát

Bevezetés a síkbeli és térbeli mértani helyek elméletébe

Hogyan lehet egy számról megállapítani, hogy prím-e? Mivel a prímszámok a természetes számok, illetve az egész számok "atomjai", mindig nagyon foglalkoztatták a matematikusokat. A prímszámok fogalmát valószínűleg már az egyiptomiak és a mezopotámiai népek is ismerték. Első, tervszerű tanulmányozói a püthagoreusok voltak, de a prímszámokra először Eukleidésznél találunk pontos meghatározást.

Pierre Fermat 1601. augusztus 17-én született Beaumont de Lomagne-ban, szintén Toulouse közelében. Baszk származású volt, ferences iskolába járt, majd jogot tanult Toulouse-ban és Bordeaux-ban. Sokat foglalkozott nyelvekkel, klasszikus irodalommal és természettudományokkal, de sose tanult matematikát - ezért később "az amatőrök fejedelmének" nevezték.

1629-ben kezdte el rekonstruálni az ógörög matematikus Apollóniosz Plane loci (Síkmértani helyek) című művét, s felismerte, hogy a locusok (adott tulajdonságú pontokból álló halmazok) kezelése koordinátarendszer segítségével könnyebb. Ehhez Descartes is eljutott, s mivel könyve 1637-ben jelent meg (szemben Fermat művével, mely - Bevezetés a síkbeli és térbeli mértani helyek elméletébe - csak 1679-ben látott napvilágot), a módszer Descartes-féle geometria néven terjedt el.

Fermat 1631-ben szerzett jogi képesítést az orléans-i egyetemen, s a toulouse-i bíróság tanácsosa lett. Általánosította a függvénygörbék egyenleteit, így a parabolát és hiperbolát egyetlen formulával tudta leírni. Ezen az úton az 1630-as évek közepén olyan szabálysorhoz jutott, amely a differenciálást, mint matematikai módszert jelentette. Ezáltal fedezte fel a görbék érintőit megadó egyenleteket, s meg tudta határozni azok maximum-, minimum- és inflexiós pontjait. Arra is rájött, hogyan lehet a görbék alatti területeket összegzéssel kiszámítani - ezt ma határozott integrálnak hívjuk. (Azt nem tudjuk, felismerte-e, hogy a deriválás és a határozott integrál egymás ellentett műveletei.)

Az analízis, a szélsőérték-feladatok jeles művelője volt, s megoldotta a forgásparaboloid-szelet felületének kiszámítását is - e műve La Loubére matematikus Veterum geometria promota című, 1660-as műve mellékleteként jelent meg, s Fermat egyetlen életében kiadott munkája. Descartes-tal a fénytörés kérdésében folytatott vitájában az ő álláspontja győzött: a fény sebessége egyes közegekben a beesési szögek sinusával arányos - Descartes fordított arányt tételezett fel, Fermat érveinek helyességét Huygens hullámelmélete igazolta. Az optikai Fermat-elv szerint a fény többféle közegben a lehetséges utak közül azt követi, melyhez a legkisebb idő kell. Marin Mersenne matematikus közvetítette vitáit Descartes-tal, később Newton differenciál- és integrálszámítási módszere igazolta felismeréseit.

1. Bevezetés a síkbeli és térbeli mértani helyek elméletébe
2. A valószínűség-számítás és a nagy Fermat-sejtés